容斥问题知识点(容斥问题题型)

【导读】

中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试！今天为大家带来数量关系：容斥问题之高频考点。

容斥问题在数学运算中是属于偏基础的题型，所以如果在考试中，碰到了这样的题目，一定毫不犹豫地先把这道题做了!但是，如果你不会容斥问题的解题方法，那么1分钟内想做完这道题估计就不容易了，那可就真的是亏大了。所以呀，我们得把方法掌握，考试才有信心嘛!

下面我们来看看关于容斥问题中的常考知识点吧!

首先我们来了解一下，什么是容斥问题?

容斥问题，简单地来说是集合之间的交叉关系。在容斥问题中，需要知道最基本的解题原则，即不重不漏，保持重叠区域为一层。这个原则，结合图解法，我们可以得出很多的结论，也能解决很多的容斥问题。

什么是图解法呢?图解法，其实就是文氏图或者维恩图，利用图形解题时，我们用圆圈表示一个集合，如果两个圆圈之间有重合，也就是两个集合有交叉，即容斥。

具体方法是：从中央向四周标出各区域的量，全集等于各区域量之和。

我们来看一道题!

【例题1】三年级同学有56人，参加科技兴趣小组的有36人，参加美术兴趣小组的有28人，两个兴趣小组都没有参加的有10人。

问：(1)两个兴趣小组都参加的有多少人?

(2)只参加美术兴趣小组的有多少人?

【解析1】设两个兴趣小组都参加的有x人，则只参加美术小组的有(28-x)人，只参加科技小组的有(36-x)人，结合文氏图，如下：

(36-x)+x+(28-x)=56，解方程得，x=18人

即：两个兴趣小组都参加的有18人，则只参加美术小组的有28-x=28-18=10人。

当然，这道例题，除了用图解法外，还可以通过公式法直接求解。

我们来看看，容斥问题的公式有哪些?

我们用I表示全集，A、B、C、D表示集合，M表示补集，则有以下公式：

(1)二者容斥：已知两个集合间的交叉关系

(2)三者容斥：已知三个集合间的交叉关系

来!看完公式以后，例题1用公式法该怎么解呀?

【例题1-解析2】分析题目条件可知，已知全班人数即全集I，科技小组和美术小组即两个集合A、B，问题所求两个兴趣小组都参加的是，用公式法则对应了二者容斥的公式。设两个兴趣小组都参加的有x人，则有56=36+38-x+10，解方程得x=18人，则只参加美术小组的有28-x=28-18=10人。

我们再来看看下面这个题目!

【例题2】对39种食物是否含有甲、乙、丙三种维生素进行检验，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种。问：三种维生素都含有的有多少种?

【解析】分析题目条件可知，已知食物总数即全集I，甲、乙、丙三种维生素即三个集合A、B、C，两两集合之间有交集，问题所求三种维生素都含有的，用公式法则对应了三者容斥的公式。设三种维生素都含有的有x种，则有39=17+18+15-7-6-9-x+7，解方程可得x=14种，即三种维生素都含有的有14种.

通过以上容斥问题的方法和对应例题，同学们对容斥问题的方法应用是不是更加得手了呢?容斥问题看似简单，但是希望同学们不要掉以轻心!中公题库里还有很多类似的题型，同学们赶紧去练练手吧!

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