摆线讲解视频(摆线的动画演示)

摆线亮相高考　风景这边独好

湖北省阳新县高级中学　邹生书

摆线即旋轮线是自选模块《坐标系与参数方程》中的内容，在数学史上，发现圆锥曲线后，受到科学家关注最多的曲线是摆线.摆线种类丰富，性质优美，应用广泛.摆线问题类属动态几何问题，解决摆线问题不仅需要平面几何、三角函数和解析几何等相关知识的支撑，而且还需要一定的运动相像能力和探究能力.10高考摆线首次亮相北京卷文理科第14题，11年高考摆线第二次亮相于江西省文理科第10题，均属客观题的压轴题.这几道难得的考题视角独特、设计新颖、卓而不群，运动中考能力立意上求创新。

例1（10高考北京市文科第14题）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为＿＿；在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为＿＿ .

说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.

解析 从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4，其顶点从首次落在x轴上和第二次落在x轴上时所画出的轨迹就是函数在其两个相邻零点间的图象如图所示，不难算出它与x轴所围区域的面积为

，故选.

点评 本题实际上是正方形沿直线无滑动运动时有关顶点的摆线问题，本题考查了函数零点的概念、周期的定义及图形面积的计算，充分考查学生分析问题和解决问题的能力，是一道能力立意的创新题.

例2（11年高考江西省文科第10题）如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在原点O处，一顶点及中心M在Y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为( )

解析 (1)先探求“最高点”的轨迹.如图，设，则正三角形的边长为，那么“凸轮”上任意两点间的距离的最大值为.当“凸轮”沿X轴正向滚动到时，连结，因为“凸轮”与X轴相切于，由圆的切线性质知，，而，即“凸轮”在运动过程中最高点到X轴的距离为定值，故“最高点”的轨迹是与X轴平行的一条直线.

(2)探求“中心点”的轨迹.开始时，“中心点”到X轴的距离为，当“凸轮”的某一顶点运动到X轴上且中心在X轴上的射影与该顶点重合时，中心到X轴的距离为2，因为，从运动变化可知，当“凸轮”各边中点在落在X轴上时，中心最低;当“凸轮”的顶点落在X轴上且中心在X轴上的射影与该顶点重合时，中心最高，其轨迹为“正弦波”.

综合(1)(2)知，在“凸轮”滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图形大致应为.

点评 本题是曲边三角形“凸轮”沿直线无滑动运动时最高点和中心的轨迹问题，实质上就是曲边三角形“凸轮”的两条摆线问题，重点考查学生对动态图形运动规律的探究能力。

例3（11年高考江西省理科第10题）如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的

大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（ ）

解析 设大小两圆的圆心分别为.假设开始时，小圆定直径的端点为大圆上的点，则点与重合.当小圆沿大圆内壁逆时针方向滚动到两圆内切于点时，且点在上时，由内切两圆性质知，三点共线.动点满足的几何条件是等长.设，，则有，即.设交于点，因为，所以，所以，故点和点重合，即点在半径上，容易证明点在半径上.同理，当点运动到时，则点在半径上，点在半径上.以此类推，所以点的轨迹是互相垂直的直径，故选.

点评 本题是一道小圆在大圆内作无滑动的圆周运动时，小圆固定直径两端点轨迹问题，实则小圆上的定点在大圆的内摆线问题.本题综合考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系以及分类讨论、化归与转化的数学思想和探究能力.

这几道摆线高考题，体现了“返璞归真，支持课改;突破定势，考查真功”的命题理念，彰显了“规避特殊技巧，凸显数学本质，强调过程评价，引导研究性学习”等特色.摆线问题，研究运动图形的性质，重点考查学生的自主探究能力、作图能力、观察归纳猜想能力以及分析问题和解决问题的能力，能有效考查学生的创新意识和数学综合素养.这几道摆线考题的出现成为新课标试卷中的几个亮点构成了一道靓丽的风景线，摆线亮相高考风景这边独好.

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