中国剩余定理例题解法(利用中国剩余定理求解)

在近年来的国家公务员考试、各地方省考中都会出现一类题型，考查中国剩余定理，碰到此类问题，大部分同学可能采用代入法，可解决部分题目，中公教育专家认为，若能明确解题思路，就可达至秒杀速度，就必须明确题干特征和解题方法。

一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?这就是我们所知中国剩余定理。

一般剩余问题的通用形式：一个数除以a余x，除以b余y，除以c余z，其中a、b、c两两互质，求满足该条件的最小数。

应用类型：

(1)余同加余：题干出现余数相同，即x=y=z，则满足的数是[a、b、c]n+x，[a、b、c]表示为a、b、c最小公倍数。

(2)差同减差：题干出现每组除数和余数差相同，即a-x=b-y=c-z，则满足的数是[a、b、c]n-(a-x)。

(3)和同加和：题干出现每组除数和余数和相同，即a-x=b-y=c-z，则满足的数是[a、b、c]n+(a-x)。

(4)逐步满足法：不存在上述情况下，从最大量开始尝试。

以下结合例题，讲解如何利用剩余定理解题。

【例1】：三位运动员跨台阶，台阶总数在 100-150 级之间，第一位运动员每次跨 3 级台阶，最后一步还剩 2 级台阶。第二位运动员每次跨 4 级台阶，最后一步还剩 3 级台阶。第三位运动员每次跨 5 级台阶，最后一步还剩 4 级台阶。问：这些台阶总共有多少级?

A.119 B.121 C.129 D.131

【答案】 A。

【中公解析】由题干的差相同，则若多 1 级台阶，则运动员每次跨 3、 4、 5 级，均正好跨完所有台阶，即台阶数加 1 是 3、 4、 5 的倍数，所以台阶数可表示为 60n-1( n 为正整数)，结合选项可知答案为 A。当然此题也可代入。

【例2】：三位数的自然数P满足：除以 3 余 2，除以 7 余 3，除以 11 余 4，则符合条件的自然数 P 有多少个?

A. 5 B.4 C.6 D.7

【答案】 B。

【中公解析】此题不满足前面三种形式，故采用逐步满足法，先从最大的除数开始满足，满足除以 11 余 4 的最小数为 15，则11n+15 都满足这一条件，当 n=0、 1、 2、 3 时，均不满足除以 7 余 3，当 n=4 时， 11n+15=59，满足除以 7 余 3， 11 和 7 的最小公倍数是 77，则 77n+59 都满足这两个条件。当 n=0 时， 59满足除以 3 余 2， 77 和 3 的最小公倍数是 231，则 231n+59 满足以上三个条件。又因为P为三位数，所以 n 只能取 1、 2、 3、 4，即符合条件的自然数P有 4 个，选择 B。

中公教育专家认为，对于此类问题进行适当的转化，使之变成大家常见的形式，在解答数学运算时有部分可用代入法，但却不是达到秒杀之速度，所以就需认清题干，使用技巧，快速解题，相信这类题型将是是大家备考路上乐于见到的。

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