排列组合之隔板模型(排列组合中的隔板模型)

【导读】

中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试！今天为大家带来数量关系题库：排列组合之“隔板模型”。

在行测考试中，数量关系一直是同学们比较畏难的部分，得分率普遍偏低，而排列组合又基本可以说是数量关系的必考题，很多时候同学们做排列组合题目的时候，感觉往往是题目说的很简单，很容易理解题目意思，但是却无从下手，得不到正确的答案。因此，我们必须掌握排列组合中的一些模型，学会这些模型的适用条件及固定解法，才能快速准确的得出正确答案，为其他题目节约出时间。今天这篇文章为大家详细介绍排列组合中的“隔板模型”。

“隔板模型”解决的是排列组合中的同素分堆问题，即把相同元素分成若干堆的问题。

公式：把 n 个相同元素分给 m 个不同的对象，每个对象至少 1 个元素，问有多少种不同分法，这种问题就可以采用“隔板法”，共有种不同的分法。

但是应用“隔板模型”必须要满足3个条件，即：

(1) 所要分的元素必须完全相同;

(2) 每个对象至少分到1个，不能出现分不到元素的对象。

(3) 所要分的元素必须分完，不能有剩余。

那么“隔板模型”在具体的题目环境中如何运用呢，我们根据以下几道题目来具体分析。

例1：有10本相同的杂志要分给3个不同的阅读室，要求每个阅读室至少分1本，有多少种不同的分法?

解析：我们对这道题进行简单的分析就会发现，这道题本质上就是将10个相同的元素分给3个不同的对象，并且要求每个对象至少分得1个，所以这道题就完全符合隔板模型的公式，即=9×8÷2=36种。那我们如何来理解隔板模型呢。10个元素中间有9个空，放入2个隔板(隔板是相同而不可以区分的)，那么就可以分成10个元素分成3堆了，并且保证了每一堆至少1个元素。故要求的方法数就是种。

对于隔板模型，往往会出现另外两种不同的变形，我们也可以将其进行适当地转化，使其满足隔板模型的条件，从而使用隔板模型进行求解。以下两个例题即为隔板模型的两种变形，我们一起来进行分析。

例2：将 12 个完全相同的球放到 编号分别为 1、2、3 、4的盒子中，要求每个盒子中放的球数不少于其编号数，则一共有多少种放法?

A.8 B.10 C.12 D.14

解析：对于这道题目，我们就会发现它不是完全符合隔板模型的3个条件，即这道题不符合每个对象至少分一个这个条件。他要求编号为1的盒子至少1个，编号为2的盒子至少2个，编号为3的盒子至少3个，编号为4的盒子至少4个。但是我们可以通过适当地转化，使其符合隔板模型的条件。我们可以分步来完成。第一步先在编号为2的盒子里放1个，编号为3的盒子里放2个，编号为4的盒子里放3个，由于球是相同的，因此只有一种放法;第二步，将剩下的完全相同的6个球，分给4个不同的盒子，每个盒子至少一个，直接利用隔板模型有种，两步相乘10×1=10，因此共有10种，答案为B。

例3:将10个完全相同的乒乓球分给3个同学，允许有同学分不到球的情况，则一共有多少种不同的分法?

A.60 B.66 C.72 D.96

解析：这道题10个相同的元素分给3个不同的对象，但是不满足每个对象至少分一个，不能为空的条件，因此需要进行转化使其符合隔板模型的条件。我们可以每个对象各先借一个球，那么球的总数就变成了13个，再将13个球进行隔板模型，就能满足可以为空的条件了，方法数为种。那么如何理解呢?我们可以理解为13个相同元素分给3个不同的对象，每个对象至少一个，有种，然后每个对象再减去一个元素，只有一种，这样就保证了可以为空的情况了。答案为B。

通过这3个例题，相信同学们对隔板模型以及它的两个变形有了更加深刻地理解了，我们在今后做题的时候，一定要理解隔板模型的条件，在不满足标准模型条件的时候，要进行适当地转化，再利用隔板模型进行求解。

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